如图已知抛物线y=2分之1x^2+bx+cbc是常数切c<0与x轴分别交于点ab点a位于点b的

（2013·苏州）如图,抛物线y=1/2x²+bx+c(b,c是常数,且c<0)与x轴分别交于点A,B(点A位于点B的左侧)~

解：（1）∵抛物线y=
1
2
x2+bx+c过点A（-1，0），
∴0=
1
2
×（-1）2+b×（-1）+c，
∴b=
1
2
+c，
∵抛物线y=
1
2
x2+bx+c与x轴分别交于点A（-1，0）、B（xB，0）（点A位于点B的左侧），
∴-1与xB是一元二次方程
1
2
x2+bx+c=0的两个根，
∴-1•xB=
c

1
2


，
∴xB=-2c，即点B的横坐标为-2c；

（2）∵抛物线y=
1
2
x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，
∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．
设直线BC的解析式为y=kx+c，
∵B（-2c，0），
∴-2kc+c=0，
∵c≠0，
∴k=
1
2
，
∴直线BC的解析式为y=
1
2
x+c．
∵AE∥BC，
∴可设直线AE得到解析式为y=
1
2
x+m，
∵点A的坐标为（-1，0），
∴
1
2
×（-1）+m=0，解得m=
1
2
，
∴直线AE得到解析式为y=
1
2
x+
1
2
．
由

y＝
1
2
x2+(
1
2
+c)x+c

y＝
1
2
x+
1
2




，解得

x1＝−1
y1＝0


，

x2＝1−2c
y2＝1−c


，
∴点E坐标为（1-2c，1-c）．
∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），
∴直线CD的解析式为y=-
c
2
x+c．
∵C，D，E三点在同一直线上，
∴1-c=-
c
2
×（1-2c）+c，
∴2c2+3c-2=0，
∴c1=
1
2
（与c＜0矛盾，舍去），c2=-2，
∴b=
1
2
+c=-
3
2
，
∴抛物线的解析式为y=
1
2
x2-
3
2
x-2；

（3）①设点P坐标为（x，
1
2
x2-
3
2
x-2）．
∵点A的坐标为（-1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，-2），
∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y=
1
2
x-2．
分两种情况：
（Ⅰ）当-1＜x＜0时，0＜S＜S△ACB．
∵S△ACB=
1
2
AB•OC=5，
∴0＜S＜5；
（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．
∴点F坐标为（x，
1
2
x-2），
∴PF=PG-GF=-（
1
2
x2-
3
2
x-2）+（
1
2
x-2）=-
1
2
x2+2x，
∴S=S△PFC+S△PFB=
1
2
PF•OB=
1
2
（-
1
2
x2+2x）×4=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴当x=2时，S最大值=4，
∴0＜S≤4．
综上可知0＜S＜5；

②∵0＜S＜5，S为整数，
∴S=1，2，3，4．
分两种情况：
（Ⅰ）当-1＜x＜0时，设△PBC中BC边上的高为h．
∵点A的坐标为（-1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，-2），
∴AC2=1+4=5，BC2=16+4=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°，BC边上的高AC=
5
．
∵S=
1
2
BC•h，∴h=
2S
BC
=
2S
2
5


=

5


5
S．
如果S=1，那么h=

5


5
×1=

5


5
＜
5
，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=2，那么h=

5


5
×2=
2
5


5
＜
5
，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=3，那么h=

5


5
×3=
3
5


5
＜
5
，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=4，那么h=

5


5
×4=
4
5


5
＜
5
，此时P点有1个，△PBC有1个；
即当-1＜x＜0时，满足条件的△PBC共有4个；
（Ⅱ）当0＜x＜4时，S=-x2+4x．
如果S=1，那么-x2+4x=1，即x2-4x+1=0，
∵△=16-4=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=2，那么-x2+4x=2，即x2-4x+2=0，
∵△=16-8=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=3，那么-x2+4x=3，即x2-4x+3=0，
∵△=16-12=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=4，那么-x2+4x=4，即x2-4x+4=0，
∵△=16-16=0，∴方程有两个相等的实数根，此时P点有1个，△PBC有1个；
即当0＜x＜4时，满足条件的△PBC共有7个；
综上可知，满足条件的△PBC共有4+7=11个．

把A(-4,0)和B(1,0)代入y=1/2x^2+bx+c得
8-4b+c=0
1/2 + b+c=0
解得b=3/2，c=-2
∴抛物线解析式为y=(1/2)x²+(3/2)x-2
∴C(0,-2)
作EM⊥BC于M
当△CEF和△BEF分别以CF和BF为底边时
两三角形同高，高都是EM。
∵S△CEF=2S△BEF，
即CF*EM/2=2×BF*EM/2
∴CF=2BF，即BF/CF=1/2
又∵EF‖AC
∴BF/CF=BE/AE=1/2
∵AE+BE=AB=5
∴AE=10/3
∴E(-2/3,0)

由题可知抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴相交于a、b两点，即当x=a和x=b时，y=0
将x=b，y=0代入上式得式1，1/2b²+b²+c=0，b=（根号下）-2/3c（c<0），故b>0
将x=a，y=0代入上式得式2，1/2a²+ab+c=0
式2减式1得1/2a²+ab=1/2b²+b²，得a²+2ab-3b²=0，得（a+b）²=（2b）²，得a=b或a=-3b，舍去a=b，故a=-3b
由式1已知b>0，故a=-3b<0,故点a在点b的左侧

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