已知抛物线y=-(1/2)x^2+h,点A,B及点P(2,4)都在抛物线上,若过A,B两点的直线方程为y=2x+m(m>0), 已知抛物线c:x^2=-2(y-m),点a、b及p(2,4)...

已知抛物线方程y=-½x方+h，点A,B,P(2,4)都是抛物线点，直线PA,PB的倾斜角互补。~

【1】证明：①∵点P(2,4)在抛物线y=(-1/2)x ²+h上，∴4=（-1/2）×2 ²+h..
∴h=6.
∴抛物线y=(-1/2)x ²+6.
②∵点A,B均在该抛物线上，故可设其坐标为A(2a，6-2a ²),B(2b，6-2b ²). (a≠b).
③由题设可知，若直线PA的倾斜角为β，则直线PB的倾斜角为π-β
∴由斜率公式可知，Kpa=tanβ.Kpb=tan(π-β)=-tanβ.
∴Kpa+Kpb=0.即两条直线PA与PB的斜率之和为0.
又由斜率公式可得：Kpa=(2-2a ²)/(2a-2)= －(a+1).
Kpb=(2-2b ²)/(2b-2)= －(b+1).
∴[-(a+1)]+[-(b+1)]=0. ∴a+b=-2.
④由斜率公式可得:Kab=[(6-2a ²)-(6-2b ²)]/(2a-2b)=(b ²-a ²)/(a-b)=-(a+b)=2.
∴直线AB的斜率恒为定值2.
【2】解：①∵直线AB的斜率为2，故可设其“斜截式方程”为：y=2x+t.
又直线AB的纵截距为正，∴t＞0.
联立抛物线方程y=(-1/2)x ²+6与直线方程y=2x+t.，整理可得：
x ²+4x+2(t-6)=0.
∴判别式⊿=16-8(t-6)=8(8-t) ＞0. ∴0＜t＜8.
②由“圆锥曲线弦长公式”可知，弦|AB|=√[40(8-t)].
再由“点到直线的距离公式”可知，点P(2,4)到直线AB:y=2x+t的距离d为：
d=t/(√5).
∴三角形⊿PAB的面积S=(1/2) ×|AB|×d=(1/2) ×√[40(8-t)] ×t/(√5).
=√[2t²(8-t)]= √[2(-t³+8t²)].
③现在来求函数f(t)=-t³+8t²,(0＜t＜8）的最大值。
求导可得f′(t)=-3t ²+16t.=-t(3t-16).
易知，在区间(0,8)上，当0＜t＜16/3时，有f′(t) ＞0.
当16/3＜t＜8时，有f′(t) ＜0.
∴由“函数单调性与其导数正负的关系”可知，
函数f(t)在t=16/3时取得最大值。∴当t=16/3时，⊿PAB的面积最大。
④当t=16/3时，由S=√[2t ²(8-t)]可得：S=(64√3)/9.
即⊿PAB面积的最大值为（64√3）/9.

你好~！
【1】证明：①∵点P(2,4)在抛物线y=(-1/2)x ²+h上，∴4=（-1/2）×2 ²+h..
∴h=6.
∴抛物线y=(-1/2)x ²+6.
②∵点A,B均在该抛物线上，故可设其坐标为A(2a，6-2a ²),B(2b，6-2b ²). (a≠b).
③由题设可知，若直线PA的倾斜角为β，则直线PB的倾斜角为π-β
∴由斜率公式可知，Kpa=tanβ.Kpb=tan(π-β)=-tanβ.
∴Kpa+Kpb=0.即两条直线PA与PB的斜率之和为0.
又由斜率公式可得：Kpa=(2-2a ²)/(2a-2)= －(a+1).
Kpb=(2-2b ²)/(2b-2)= －(b+1).
∴[-(a+1)]+[-(b+1)]=0. ∴a+b=-2.
④由斜率公式可得:Kab=[(6-2a ²)-(6-2b ²)]/(2a-2b)=(b ²-a ²)/(a-b)=-(a+b)=2.
∴直线AB的斜率恒为定值2.
【2】解：①∵直线AB的斜率为2，故可设其“斜截式方程”为：y=2x+t.
又直线AB的纵截距为正，∴t＞0.
联立抛物线方程y=(-1/2)x ²+6与直线方程y=2x+t.，整理可得：
x ²+4x+2(t-6)=0.
∴判别式⊿=16-8(t-6)=8(8-t) ＞0. ∴0＜t＜8.
②由“圆锥曲线弦长公式”可知，弦|AB|=√[40(8-t)].
再由“点到直线的距离公式”可知，点P(2,4)到直线AB:y=2x+t的距离d为：
d=t/(√5).
∴三角形⊿PAB的面积S=(1/2) ×|AB|×d=(1/2) ×√[40(8-t)] ×t/(√5).
=√[2t²(8-t)]= √[2(-t³+8t²)].
③现在来求函数f(t)=-t³+8t²,(0＜t＜8）的最大值。
求导可得f′(t)=-3t ²+16t.=-t(3t-16).
易知，在区间(0,8)上，当0＜t＜16/3时，有f′(t) ＞0.
当16/3＜t＜8时，有f′(t) ＜0.
∴由“函数单调性与其导数正负的关系”可知，
函数f(t)在t=16/3时取得最大值。∴当t=16/3时，⊿PAB的面积最大。
④当t=16/3时，由S=√[2t ²(8-t)]可得：S=(64√3)/9.
即⊿PAB面积的最大值为（64√3）/9.
希望可以明白哦~

∵点P(2,4)在抛物线y=(-1/2)x ²+h上，∴4=（-1/2）×2 ²+h..
∴h=6.
∴抛物线y=(-1/2)x ²+6.
①AB方程”为：y=2x+m,m＞0.
联立抛物线方程y=(-1/2)x ²+6与直线方程y=2x+m.，整理可得：
x ²+4x+2(m-6)=0.
∴判别式⊿=16-8(m-6)=8(8-m) ＞0. ∴0＜m＜8.
②由“圆锥曲线弦长公式”可知，弦|AB|=√[40(8-m)].
再由“点到直线的距离公式”可知，点P(2,4)到直线AB:y=2x+m的距离d为：
d=m/(√5).
∴三角形⊿PAB的面积S=(1/2) ×|AB|×d=(1/2) ×√[40(8-m)] ×m/(√5).
=√[2m²(8-m)]= √[2(-m³+8m²)].
③现在来求函数f(m)=-m³+8m²,(0＜m＜8）的最大值。
求导可得f′(m)=-3m ²+16m.=-m(3m-16).
易知，在区间(0,8)上，当0＜m＜16/3时，有f′(m) ＞0.
当16/3＜m＜8时，有f′(m) ＜0.
∴由“函数单调性与其导数正负的关系”可知，
函数f(m)在m=16/3时取得最大值。∴当m=16/3时，⊿PAB的面积最大。
④当m=16/3时，由S=√[2m ²(8-m)]可得：S=(64√3)/9.
即⊿PAB面积的最大值为（64√3）/9.
希望可以明白哦~

把点P(2,4)代入
y=-(1/2)x²+h
4=-(1/2)4+h
得h=6 则抛物线 y=-(1/2)x²+6
y = 2x+ m
2x - y + m =0
P与AB的距离h = |2*2-4+m|√(2² + 1²) = |m|/√5

求A、B坐标
y = -x²/2 + 6 = 2x + m
x² + 4x + 2m - 12 = 0
x₁ = -2 + √(16 - 2m), y₁ = m - 4 + √(16 - 2m)
x₂ = -2 -√(16 - 2m), y₂ = m - 4 - √(16 - 2m)
AB = √{[-2 -√(16 - 2m) + 2 - √(16 - 2m)]²+ [m - 4 - √(16 - 2m) - m +4 - √(16 - 2m)]²}
= √[8(16-2m)
= 4√(8 - m)
三角形PAB的面积S = (1/2)*AB*h
= (1/2)(|m|/√5)*4√(8 - m)
= (2/√5)|m|√(8 - m)
显然S没有最大值。直线l为斜率为2, 在轴上的截距为m的直线. 抛物线为开口向下，当直线向下平移时，三角形的面积随之增大。