设三角形ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c,并设各边上中线依次为ma,mb,mc,求证a+b+c小于2【ma+mb+mc] 设△ABC三边BC=a,CA=b.AB=c,并设各边上中线依...
首先画图,将a,b,c以及ma,mb,mc(分别对应为a,b,c边上的中线)标出来;并且标注:BC边上的中点为D,AC边上的中点为E,AB边上的中点为F;
在三角形ACD中,AD=ma,CD=(1/2)a,AC=b;由三角形三边关系定理可知:AD+DC>AC,即ma+(1/2)a>b;
同理在三角形ABE和三角形AFC中可得:mb+(1/2)b>c; mc+(1/2)c>a。
将以上三式相加得:ma+(1/2)a+mb+(1/2)b+mc+(1/2)c>a+b+c
移项得:ma+mb+mc>(1/2)(a+b+c)
即:a+b+c<2(ma+mb+mc)
令三条中线的交点为O,则有:AO=(2/3)ma,BO=(2/3)mb,CO=(2/3)mc。
显然有:AB<AO+BO,AC<AO+CO,BC<BO+CO,
∴AB+AC+BC<(AO+BO)+(AO+CO)+(BO+CO),
∴AB+AC+BC<2(AO+BO+CO),
∴a+b+c<2[(2/3)ma+(2/3)mb+(2/3)mc)],
∴a+b+c<(4/3)(ma+mb+mc)。
(Heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表(未查证)。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
S=%√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长:
p=(a+b+c)/2
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注1:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。
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由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。
证明(1):
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明(2):
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以
q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]
当P=1时,△ 2=q,
S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}
因式分解得
1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得:
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。
S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.
根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:
已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)
代入解得s=8√ 3
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:
设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则
S△ABC =1/2 aha=1/2 ab×sinC =1/2 r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中,S△ABC = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、 海伦公式的变形
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
分析:先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。
证明:如图ha⊥BC,根据勾股定理,得:
x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④,故得证。
证二:斯氏定理
分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D,
若BD=u,DC=v,AD=t.则
t 2 =
证明:由证一可知,u = v =
∴ ha 2 = t 2 = -
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤,故得证。
证三:余弦定理
分析:由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 对其进行证明。
证明:要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证。
证四:恒等式
分析:考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式:若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明:如图,tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式,得:
+ + =
①②③代入,得:
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x
∴x = 同理:y = z =
代入 ④,得: r 2 · =
两边同乘以 ,得:
r 2 · =
两边开方,得: r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证。
证五:半角定理
半角定理:tg =
tg =
tg =
证明:根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得: r3 = ×xyz
∵由证一,x = = -c = p-c
y = = -a = p-a
z = = -b = p-b
∴ r3 = ∴ r =
∴S△ABC = r·p = 故得证。
三、 海伦公式的推广
由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p= ,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明:如图,延长DA,CB交于点E。
设EA = e EB = f
∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○
∴∠1 =∠3 ∴△EAB~△ECD
∴ = = =
解得: e = ① f = ②
由于S四边形ABCD = S△EAB
将①,②跟b = 代入公式变形④,得:
∴S四边形ABCD =
所以,海伦公式的推广得证。
四、 海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用,特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中,直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。
例题:如图,四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.
求:四边形可能为等腰梯形。
解:设BC = x
由海伦公式的推广,得:
(4-x)(2+x)2 =27
x4-12x2-16x+27 = 0
x2(x2—1)-11x(x-1)-27(x-1) = 0
(x-1)(x3+x2-11x-27) = 0
x = 1或x3+x2-11x-27 = 0
当x = 1时,AD = BC = 1
∴ 四边形可能为等腰梯形。
在程序中实现(VBS):
Dim a,b,c,p,s
a=inputbox("输入三角形第一边")
a=cint(a)
b=inputbox("输入三角形第二边")
b=cint(b)
c=inputbox("输入三角形第三边")
c=cint(c)
p=(a+b+c)/2
s=Sqr(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
msgbox s, ,"三角形面积"
在VC中实现
#include<stdio.h>
#include<math.h>
main()
{
int a,b,c,s;
printf("输入第一边\n");
scanf("%d",&a);
printf("输入第二边\n");
scanf("%d",&b);
printf("输入第三边\n");
scanf("%d",&c);
s=(a+b+c)/2;
printf("面积为:%f\n",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));
如图,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD...
解:(1)∵△ABD,△BCE为等边三角形 ∴∠DBA=∠EBC=60°,BD=AB,BE=BC ∴∠ABC+∠EBA=∠DBE+∠EBA=60°∴∠ABC=∠DBE ∴△ABC≌△DBE ∴DE=AC 同理:EF=AB ∵AB=AD,AC=AF ∴EF=AD,DE=AF∴四边形ADEF是平行四边形 (2)∵四边形ADEF是菱形, ∴AD=AF.∵...
已知三角形ABC的三个内角ABC的对边分别为abc,∠B=45
(a-√2)(a-3√2)=0 a=√2 or 3√2 ∵cosC>0 ∴∠C<90° ∵sinC=√5\/5<√2\/2 ∴∠C<45° ∴∠B+∠C<90° ∴∠A>90°>∠B ∴a>b ∴a=3√2 (√2舍去)(2)由余弦定理,得 CD^2=BC^2+BD^2-2BC·BD·cosB CD^2=a^2+(c\/2)^2-accosB=18+1-3√2·√2\/2...
在△ABC的三条边上分别向形外作正三角形ABC' 正三角形AB'C 正三角形...
证明:AB=BC',BC=BA',∠ABA'=∠C'BC ∴△ABA'≅△C'BC,AA'=C'C 同理可证:△AA'C≅△BB'C,AA'=BB'∴AA'=BB'=CC'共点还不知道怎么证明
在三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边长,且a=3,A=派\/3,点D在BC...
(2)AD是中线,则有BD=CD=a\/2=3\/2.b^2=AD^2+CD^2-2AD*CD*cosADC c^2=AD^2+BD^2-2AD*BD*cosADB 又有角ADC+ADB=180,则有cosADC=-cosBDA 上二式相加得到b^2+c^2=2AD^2+a^2\/2 AD^2=(b^2+c^2-a^2\/2)\/2 a^2=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2-bc=9 bc<=(b^2+...
...△ABC中,∠ACB=90°,AC=b,BC=a,分别以三角形的三条边为边长作正方 ...
解答:解:(1)阴影部分的面积:S1+S2+S3=a2+b2+(a2+b2)=2a2+2b2.(2)图中S2阴影部分全等于Rt△ABC.S1与S3和S4间的小三角形全等,所以S1+S3也等于Rt△ABC.过S4的左上方的顶点为D,过D作AK的垂线交AK于E,可证明Rt△ADE≌Rt△ABC,而图中Rt△DEK全等于①,所以S4=Rt△ABC.则(...
已知△ABC中,AB=3,AC=5,第三边BC的长为一元二次方程x 2 -9x+20=0的...
解一元二次方程x 2 -9x+20=0,得,x=4或5,∵AB=3,AC=5,∴2<BC<7,∵第三边BC的长为一元二次方程x 2 -9x+20=0的一个根,∴BC=4或5,当BC=4时,AB 2 +BC 2 =AC 2 ,△ABC是直角三角形;当BC=5时,BC=AC,△ABC是等腰三角形;故答案为等腰或直角.
三角形abc的三边分别为a.b.c,边bc,ca,ab上的中线分别记为
这样好了,我就证明一下Ma,其余同理可得.余弦定理可知,cosB=a2+c2-b2\/2ac,在中线和边构造出的三角形中,余弦定理可得,Ma2=(a\/2)2+c2-2(a\/2)ccosB,代入cosB化简可得,Ma2=1\/4(2(b2+c2)-a2),即证
已知,如图所示,三角形ABC的三边为边向BC的同一侧作等边三角形ABP ,等...
解:(1)四边形ADEF是个平行四边形在△ABC和△DBE中,∵BC=BE,BA=BD,∠DBE=∠ABC(与∠ABE之和都等于60°),∴△ABC≌△DBE,∴DE=AC,在△ABC和△FEC中,∵BC=EC,CA=CF,∠ACB=∠FCE(都为60°角与=∠ACE之和),∴△ABC≌△FEC,∴FE=AB,∴DE=AC=AF,FE=AB=AD,∴四边...
已知等边三角形abc和点p,设点p到三角形abc三边AB,AC,BC的距离分别是h1...
∴1 2 BC•AM=1 2 AB•PD+1 2 AC•PF+1 2 BC•PE 即 1 2 BC•h=1 2 AB•h1+1 2 AC•h2+1 2 BC•h3 又∵△ABC是等边三角形,∴BC=AB=AC.∴h=h1+h2+h3.(3)h=h1+h2-h3.当点P在△ABC外时,结论h1+h2+h3=h不...
已知三角形abc三边长都是整数且互不相等,它的周长为12,当bc为最大边...
根据题意,设BC、AC、AB边的长度分别是a、b、c,则a+b+c=12。因为BC为最大边,所以a的值最大。又因为b+c>a,所以a<6,所以a=5。(当a<5时,a不再是三角形ABC的最大边。)又因为三角形ABC三边长互不相等,所以其他两边分别为3、4。(当有一边为2、1时,另一边为5、6,无法构成三角...