2009年上海高考数学试卷（理）word版

2009上海高考数学答案~

http://edu.qq.com/zt/2009/2009gkst/index.shtml
自己去找上海区的，我不知道你是文
（http://edu.qq.com/a/20090615/000031_4.htm）
还是理
（http://edu.qq.com/a/20090612/000041_4.htm）啊！

　　2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
　　数学（理科）
　　一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
　　1.不等式 的解集是 （-4,2） 。
　　解析：考查分式不等式的解法 等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2
　　2.若复数 （ 为虚数单位），则 6-2i 。
　　解析：考查复数基本运算
　　3. 动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，则 的轨迹方程为 。
　　解析：考查抛物线定义及标准方程
　　定义知 的轨迹是以 为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y28x
　　4.行列式 的值是 0 。
　　解析：考查行列式运算法则 =
　　5. 圆 的圆心到直线l: 的距离 3 。
　　解析：考查点到直线距离公式
　　圆心（1,2）到直线 距离为
　　6. 随机变量 的概率分布率由下图给出：

　　则随机变量 的均值是 8.2
　　解析：考查期望定义式E =7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2
　　7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中， 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数， 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 S S+a 。
　　8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)= 的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是 （0，-2）
　　解析：f(x)= 的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2）
　　9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A B）== （结果用最简分数表示）
　　解析：考查互斥事件概率公式 P（A B）=
　　10．在 行n列矩阵 中，
　　记位于第 行第 列的数为 。当 时， 45 。
　　解析： 1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
　　11. 将直线 、 （ ， ）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为 ，则 1 。
　　解析：B 所以BO⊥AC，
　　= 所以

　　12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去 ,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为
　　解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为 的正三棱锥，
　　高为 所以该四面体的体积为
　　13。如图所示，直线x=2与双曲线 的渐近线交于 , 两点，记 ，任取双曲线 上的点P，若 ，则a、b满足的一个等式是 4ab=1
　　解析：
　　= ，点P在双曲线上
　　，化简得4ab1
　　14.以集合U= 的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
　　（1）a、b都要选出；
　　（2）对选出的任意两个子集A和B，必有 ，那么共有 36 种不同的选法。
　　解析：列举法 共有36种
　　二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
　　15．“ ”是“ ”成立的 [答]（ A ）
　　（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
　　（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.
　　解析： ，所以充分；
　　但反之不成立，如 ，所以不必要
　　16.直线l的参数方程是 ，则l的方向向量是 可以是 【答】（C）
　　(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)
　　解析：直线l的一般方程是 ， ，所以C正确
　　17.若 是方程 的解，则 属于区间 【答】（C）
　　(A)( ,1) (B)( , ) (C)( , ) (D)(0, )
　　解析：结合图形 ，∴ 属于区间( , )
　　18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 ，则此人能 【答】（D）
　　（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形
　　（C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形
　　解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知

　　由余弦定理得 ，所以角A为钝角
　　三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
　　19.（本题满分12分）
　　已知 ，化简：
　　.
　　=0


　　20. (本题满分13分)本题共有2个 小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。
　　已知数列 的前 项和为 ，且 ，
　　（1）证明： 是等比数列；
　　（2）求数列 的通项公式，并求出n为何值时， 取得最小值，并说明理由。
　　（2） = n=15取得最小值
　　解析：(1) 当n1时，a114；当n≥2时，anSnSn15an5an11，所以 ，
　　又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；
　　(2) 由(1)知： ，得 ，从而 (nN*)；
　　解不等式Sn<Sn1，得 ， ，当n≥15时，数列{Sn}单调递增；
　　同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n15时，Sn取得最小值．
　　21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.
　　如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
　　(1)当圆柱底面半径 取何值时， 取得最大值？并求出该
　　最大值（结果精确到0.01平方米）;
　　（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线 与 所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）
　　解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r(0<r<0.6)，S3(r0.4)20.48，
　　所以当r0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；
　　(2) 当r0.3时，l0.6，建立空间直角坐标系，可得 ， ，
　　设向量 与 的夹角为，则 ，
　　所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为 ．
　　22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。
　　若实数 、 、 满足 ，则称 比 远离 .
　　（1）若 比1远离0，求 的取值范围；
　　（2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 远离 ；
　　（3）已知函数 的定义域 .任取 ， 等于 和 中远离0的那个值.写出函数 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.
　　解析：(1) ；
　　(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有 ， ，
　　因为 ，
　　所以 ，即a3b3比a2bab2远离 ；
　　(3) ，
　　性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期 ，
　　3函数f(x)在区间 单调递增，在区间 单调递减，kZ，
　　4函数f(x)的值域为 ．
　　23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
　　已知椭圆 的方程为 ，点P的坐标为（-a，b）.
　　（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足 ,求点 的坐标；
　　（2）设直线 交椭圆 于 、 两点，交直线 于点 .若 ，证明： 为 的中点；
　　（3）对于椭圆 上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆 上存在不同的两个交点 、 满足 ,写出求作点 、 的步骤，并求出使 、 存在的θ的取值范围.
　　解析：(1) ；
　　(2) 由方程组 ，消y得方程 ，
　　因为直线 交椭圆 于 、 两点，
　　所以>0，即 ，
　　设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
　　则 ，
　　由方程组 ，消y得方程(k2k1)xp，
　　又因为 ，所以 ，
　　故E为CD的中点；
　　(3) 求作点P1、P2的步骤：1求出PQ的中点 ，
　　2求出直线OE的斜率 ，
　　3由 知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率 ，
　　4从而得直线CD的方程： ，
　　5将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．
　　欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，
　　所以 ，化简得 ， ，
　　又0< <，即 ，所以 ，
　　故 的取值范围是 ．


　　我只有这一份。。。。。。
　　这是数学的，希望你能满意。

百度嗨我，我发给你。

2009年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：
1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.
2． 本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .
一．填空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分
1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (i是虚数单位)，则其共轭复数 =__________________ .
2． 已知集合 ， ，且 ，则实数a的取值范围是______________________ .
3． 若行列式 中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是________________________ .
4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________________________ .
5．如图，若正四棱柱 的底面边长为2，高为4，则异面直线 与AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.
6．函数 的最小值是_____________________ .
7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 =____________（结果用最简分数表示）.
8. 已知三个球的半径 ， ， 满足 ，则它们的表面积 ， ， ，满足的等量关系是___________.
9. 已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 .若 的面积为9，则 =____________.
10. 在极坐标系中，由三条直线 ， ， 围成图形的面积是________.
11.当 ，不等式 成立，则实数 的取值范围是_______________.
12．已知函数 .项数为27的等差数列 满足 ，且公差 .若 ，则当 =___________时， .
13. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）____为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短
14. 将函数 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ，得到曲线 .若对于每一个旋转角 ，曲线 都是一个函数的图像，则 的最大值为__________
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。
15. 是“实系数一元二次方程 有虚根”的
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16. 若事件 与 相互独立，且 ，则 的值等于
（A） （B） （C） （D）
17. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0
（C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3
18. 过圆 的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B， 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 ，则直线AB有（ ）
（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条
三．解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤
19. （本题满分14分）
如图，在直三棱柱 中， , ,求二面角 的大小。

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
有时可用函数

描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（ ）， 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1）证明：当 时，掌握程度的增长量 总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121], (121,127], (127,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。

21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。
已知双曲线 设过点 的直线 的方向向量
（1）当直线 与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线 的方程及 与m的距离；
（2）证明：当 > 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线 的距离为 。

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知函数 是 的反函数。定义：若对给定的实数 ，函数 与 互为反函数，则称 满足“ 和性质”；若函数 与 互为反函数，则称 满足“ 积性质”。
（1） 判断函数 是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3） 设函数 对任何 ，满足“ 积性质”。求 的表达式。

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列。
（1） 若 ，是否存在 ，有 说明理由；
（2） 找出所有数列 和 ，使对一切 , ,并说明理由；
（3） 若 试确定所有的 ，使数列 中存在某个连续 项的和是数列 中的一项，请证明。

2009年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准
说明
1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
解答
一、（第一题至第14题）
1. i 2. 3. 4.
5 6. 1- 7. 8.
9. 3 10. 11. 12. 14
13. 14.
二．（第15题至第18题）
题号 15 16 17 18
代号 A B D B

三. （第19题至第23题）
19.解：
如图，建立空间直角坐标系。
则 A ，C ，A1 ，
B1 ，C1 ， …… 2分
设AC的中点为M， BM AC，BM CC1，
BM 平面 ，即 =（1，1，0）是平面 的一个法向量。……5分
设平面A1B1C的一个法向量是 = ，
= ， = ， …… 7分
= =0， = ，令 ，解得 。
= ， …… 10分
设法向量 与 的夹角为 ，二面角 。
，解得
∴二面角 的大小为 …… 14分

20. 证明：
（1）当 时，
而当 时，函数 单调递增，且 ……3分
故 单调递减。
所以，当 ，掌握程度的增长量 总是下降 ……6分
解：
（2）由题意可知 ……9分
整理得 ……13分
解得 ……14分
由此可知，该学科是乙学科

21.解：
（1）双曲线C的渐近线 ，即 …… 2分
直线 的方程 …… 6分
直线 与m的距离 …… 8分
（2）证法一：
设过原点且平行于 的直线
则直线 与 的距离 ，
当 时， 。 …… 12分
又双曲线C的渐近线为 ，
双曲线C的右支在直线 的右下方，
双曲线C右支上的任意点到直线 的距离大于 。
故在双曲线C的右支上不存在点Q 到到直线 的距离为 …… 16分
证法二：假设双曲线C右支上存在点Q 到直线 的距离为 ，
则
由（1）得 ， …… 11分
设
当 时， ：
…… 13分
将 代入（2）得 ， （*）
，

∴方程（*）不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线C的右支上不存在点Q 到直线 的距离为 …… 16分

22.解：（1）函数 的反函数是 ，
，
而 ，其反函数为
故函数 不满足“1和性质” …… 4分
（2）设函数 满足“2和性质”， 。
, …… 6分
而 ，得反函数 ， …… 8分
由“2和性质”定义可知 对 恒成立。
即所求一次函数 . ……10分
（3）设 且点 图像上，
则 在函数 图像上，
故 可得 ， ……12分
令 ， . ……14分
综上所述， 此时 其反函数是 ，
而 故 互为反函数。 ……16分
23． 解：
（1）由 ， ……2分
整理后，可得 ， ， 为整数，
不存在 ，使等式成立。 ……5分
（2）解法一：若 即 ， （*）
（ⅰ）若 ，
当 为非零常数列， 为恒等于1的常数列，满足要求。 ……7分
（ⅱ）若 ，（*）式等号左边取极限得 （*）式等号右边的极限只有当 时，才可能等于1，此时等号左边是常数，∴ ，矛盾。
综上所述，只有当 为非零常数列， 为恒等于1的常数列，满足要求。
……10分
解法二：设 ，若 ，对 都成立，且 为等比数列，
则 ，对 都成立，即 ，
，对 都成立，
……7分
（ⅰ）若 ， 。
（ⅱ）若 ，则 （常数），即 ，则 ，矛盾
综上所述， ，使对一切 ， ……10分
（3） ，
设
，
， ， ……13分
取 ，……15分
由二项展开式可得正整数 ，使得 ，

存在整数 满足要求。
故当且仅当 ，命题成立。 ……18分
说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若 为偶数，则 为偶数，但 为奇数。
故此等式不成立， 一定为奇数。 ……1分
当 时，则 ，
而

当 为偶数时，存在 ，使 成立， ……1分
当 时，则 ，
也即 ， ，
由已证可知，当 为偶数即 为奇数时，存在 ， 成立，……2分
当 时，则 ，
也即 ，而 不是5的倍数， 当 所要求的 不存在，
故不是所有奇数都成立。 ……2分

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